2016.05.17. - Ma­gyar ku­ta­tók kor­szak­al­ko­tó új égi me­cha­ni­kai ered­mé­nye

New­ton és Lag­range két­száz esz­ten­dő­nél is ré­geb­bi ered­mé­nyei után elő­ször si­ke­rült exp­li­cit, eg­zakt ana­li­ti­kus meg­ol­dást ta­lál­ni az égi me­cha­ni­kai n-test prob­lé­ma egyik al­osz­tá­lyá­ra az EL­TE két ku­ta­tó­já­nak.

Az n da­rab, csak gra­vi­tá­ci­ó­san köl­csön­ha­tó, pont­sze­rű­nek te­kin­tett test moz­gá­sát vizs­gá­ló n-test prob­lé­ma a csil­la­gá­szat és űr­ku­ta­tás köz­pon­ti je­len­tő­sé­gű kér­dé­se, hi­szen dön­tő sze­re­pe van az égi­tes­tek és a mes­ter­sé­ges űr­esz­kö­zök pá­lyá­já­nak meg­ha­tá­ro­zá­sá­ban. Bár a két­test-prob­lé­ma ál­ta­lá­nos meg­ol­dá­sát már New­ton meg­ad­ta (en­nek tu­laj­don­sá­ga­it összeg­zik a boly­gó­moz­gás jól is­mert Kep­ler-fé­le tör­vé­nyei), 2-nél na­gyobb n ér­té­kek ese­té­re ál­ta­lá­nos meg­ol­dás nem lé­te­zik. A há­rom­test-prob­lé­ma meg­ol­dá­sa­i­nak egy al­osz­tá­lyát, az ún. cent­rá­lis kon­fi­gu­rá­ci­ó­kat Eu­ler és Lag­range ha­tá­roz­ták meg ana­li­ti­ku­san a 18. szá­zad­ban. Ezek kö­zül a Lag­range-fé­le meg­ol­dá­sok­nak lé­tez­nek ké­zen­fek­vő ál­ta­lá­no­sí­tá­sai több test ese­té­re is: 4 test ese­té­ben ezek tet­ra­éder ala­kú kon­fi­gu­rá­ci­ó­kat je­len­te­nek.

Az m₁, m₂, m₃ tö­me­gű tes­tek moz­gá­sa - ha csu­pán a köl­csö­nös gra­vi­tá­ci­ós von­zó­erő­ket vesszük fi­gye­lem­be - ana­li­ti­ku­san (egy­sze­rű ma­te­ma­ti­kai függ­vé­nyek­kel) csak ak­kor ír­ha­tó le, ha a há­rom test egy egyen­lő ol­da­lú há­rom­szö­get al­kot. Ki­mu­tat­ha­tó, hogy a moz­gás so­rán a kon­fi­gu­rá­ció jel­le­ge meg­ma­rad, a tes­tek min­dig egy, az xy sík­ban el­he­lyez­ke­dő egyen­lő ol­da­lú há­rom­szög csúcs­pont­ja­i­ban lesz­nek, an­nak az ol­dal­hossza azon­ban csök­ken­het vagy nö­ve­ked­het. A sár­ga csil­lag a rend­szer tö­meg­kö­zép­pont­ját je­lö­li. A köl­csö­nös tá­vol­sá­go­kat a tö­me­gek­kel in­de­xelt r be­tűk, a tö­me­gek és a tö­meg­kö­zép­pont ko­or­di­ná­tá­it pe­dig (x,y) pá­rok jel­zik.
[Na­tu­re]

To­váb­bi eg­zakt, exp­li­cit ana­li­ti­kus meg­ol­dá­sok azon­ban nem szü­let­tek az n-test prob­lé­má­ra, egé­szen az EL­TE TTK FFI két ku­ta­tó­ja, Ér­di Bá­lint eme­ri­tus pro­fesszor és Czir­ják Za­lán PhD hall­ga­tó új ered­mé­nyé­ig, ame­lyek­ben a sík­be­li, szim­met­ri­kus négy­test-prob­lé­ma cent­rá­lis kon­fi­gu­rá­ci­ó­i­ra ad­nak tel­jes, eg­zakt és exp­li­cit ana­li­ti­kus meg­ol­dást.

A sík­be­li, szim­met­ri­kus négy­test-prob­lé­ma del­to­id ala­kú kon­fi­gu­rá­ci­ó­kat je­lent, ahol a del­to­id avagy sár­kány-alak­zat "szár­nya­it" al­ko­tó két test tö­me­ge azo­nos. Cent­rá­lis kon­fi­gu­rá­ci­ó­nak pe­dig az olyan el­ren­de­zé­se­ket ne­vez­zük, ahol a tes­tek­re ha­tó erő a rend­szer tö­meg­kö­zép­pont­já­ba mu­tat.

Az át­tö­rést két igen ere­de­ti öt­let tet­te le­he­tő­vé. Egy­részt a ha­gyo­má­nyos, pél­dá­ul Des­cartes-fé­le vagy pol­ár­ko­or­di­ná­ták al­kal­ma­zá­sa he­lyett az aláb­bi áb­rán α-val és β-val je­lölt szö­gek­kel pa­ra­mé­te­re­zik a vizs­gált kon­fi­gu­rá­ci­ó­kat. Más­részt, el­té­rő­en a szo­ká­sos meg­kö­ze­lí­té­si mód­tól, ahol a tes­tek tö­me­gét rög­zít­ve ke­re­sik a moz­gás so­rán alak­ju­kat meg­őr­ző cent­rá­lis kon­fi­gu­rá­ci­ó­kat, az EL­TE ku­ta­tói az in­verz prob­lé­mát ol­dot­ták meg: adott kon­fi­gu­rá­ci­ó­hoz ke­res­ték meg azo­kat a tö­meg­ará­nyo­kat, ame­lyek mel­lett a cent­rá­lis kon­fi­gu­rá­ció fenn­ma­rad. A szá­mí­tás így is igen össze­tett, az ered­mé­nye­ket tel­jes rész­le­tes­ség­gel is­mer­te­tő kéz­irat ter­je­del­me 57 ol­dal, az ered­mé­nye­ket a szak­mai nyil­vá­nos­ság előtt be­mu­ta­tó, "tö­mö­rí­tett" pub­li­ká­ci­óé pe­dig 38 ol­dal.

Ér­di Bá­lint és Czir­ják Za­lán a négy­test-prob­lé­ma egyik al­osz­tá­lyá­ra ad­tak új meg­ol­dást, amely a há­rom­test-prob­lé­ma azon spe­ci­á­lis ese­té­ből szár­maz­tat­ha­tó, ami­kor kez­det­ben a há­rom test mind­egyi­ke az x ten­gely men­tén he­lyez­ke­dik el. A fen­ti áb­rán mind­há­rom eset­ben az m₁ és m₂ tö­me­gek az x ten­ge­lyen ma­rad­nak, a har­ma­dik tö­meg (ere­de­ti po­zí­ci­ó­ját üres kör je­lö­li) pe­dig két egy­for­ma, m tö­me­gű rész­re osz­lik, és y irány­ban szim­met­ri­ku­san, egyen­lő tá­vol­ság­ra ke­rül az x ten­gely­től (szag­ga­tott nyi­lak). A tö­meg­kö­zép­pont ko­or­di­ná­tái (0,0), a tö­me­ge­ket össze­köt­ve pe­dig kon­vex (a), il­let­ve kon­káv (b és c) po­li­go­no­kat ka­punk. A b) és c) áb­rán a kék csil­lag je­lö­li az m₂ tö­meg el­ha­gyá­sá­val ka­pott rend­szer tö­meg­kö­zép­pont­ját, a két ese­tet az kü­lön­böz­te­ti meg, hogy a kék tö­meg­kö­zép­pont a po­li­go­non be­lül­re vagy azon kí­vül­re esik. Az m₁ és m₂ tö­me­gek hely­ze­tét de­rék­szö­gű ko­or­di­ná­ták, a má­sik ket­tő­ét pe­dig az α és a β szö­gek ha­tá­roz­zák meg.
[Na­tu­re]

Az ered­mé­nye­ket rész­le­te­ző szak­cikk a Ce­les­ti­al Me­cha­nics and Dy­na­mi­cal Ast­ro­nomy c. fo­lyó­irat­ban je­lent meg, a vi­lág ve­ze­tő ter­mé­szet­tu­do­má­nyos fo­lyó­ira­tá­nak szá­mí­tó Na­tu­re 2016. má­jus 12-i szá­má­ban pe­dig meg­hí­vott szer­kesz­tő­sé­gi cikk­ben mél­tat­ja Ér­di Bá­lint és Czir­ják Za­lán ered­mé­nyét.

For­rás:

• Na­tu­re 533, 187–188 (12 May 2016) doi:10.1038/na­tu­re17896
• Ce­les­ti­al Me­cha­nics and Dy­na­mi­cal Ast­ro­nomy, May 2016, Vo­lu­me 125, Is­sue 1, pp 33-70